Rozwiązanie

Wyznaczymy długość odcinka AB: $$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(3-(-6))^2+(-2-3)^2}=\sqrt{106}.$$Następnie porównamy obliczoną wartość do wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym: $$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\sqrt{106}$$ $$a=\frac{2\sqrt{318}}{3}$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności przekształcamy równanie prostej z treści zadania do postaci kierunkowej, aby dowiedzieć się jaki jest jej współczynnik kierunkowy:$$y=-x-\frac{5}{4}$$Wspólczynnik stojący przy x (współczynnik kierunkowy) ma wartość: $$a=-1$$Teraz skorzystamy z warunku na prostopadłość dwóch prostych $$a_1\cdot a_2 = -1$$Niech a₁ będzie współczynnikiem prostej z zadania, a a₂ współczynnikiem prostej, której wzór szukamy, mamy więc równanie: $$-1\cdot a_2 = -1$$$$a_2=1$$Zatem brakuje nam jeszcze wyrazu stałego b:$$y=x+b$$Prosta przechodzi przez punkt P = (-2, -3), który podstawiamy do powyższego równania:$$-3=1\cdot (-2)+b$$$$b=-1$$Szukany wzór to:$$y=x-1$$

Rozwiązanie

Skorzystamy z warunku na proste równoległe. Współczynniki kierunkowe tych prostych muszą być sobie równe. Współczynnikiem kierunkowym pierwszej prostej jest wyrażenie $$a_1 = 11m+6$$natomiast drugiej $$a_2=10m-9.$$Podstawiamy do warunku $$a_1=a_2$$ i otrzymujemy równanie $$11m+6=10m-9$$ $$11m-10m=-6-9$$ $$1m=-15$$$$m=-15$$

Rozwiązanie

Sposób I

Początkiem układu współrzędnych jest punkt (0, 0). Do określenia wzoru funkcji g będziemy potrzebowali dwóch punktów odbitych względem tego środka. Aby to uzyskać, zmieniamy współrzędne podanych punktów na przeciwne: $$A'=(0,8)$$ $$B'=(-3,0)$$ Szukamy prostej $$g:y=ax+b$$Wyraz stały b odczytujemy z punktu przecięcia z osią OY$$b=8$$ Mamy więc kawałek wzoru funkcji $$g:y=ax+8$$Funkcja ta przechodzi przez punkt B', którego współrzędne podstawiamy do wzoru funkcji $$0=-3a+8$$$$a=\frac{8}{3}$$Otrzymujemy pełen wzór funkcji g:$$y=\frac{8}{3}x+8$$

Sposób II

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B, analogicznie jak przedstawia sposób I: $$f:y=\frac{8}{3}x-8$$Następnie stosujemy wzór na symetrię środkową $$y=-f(-x)$$ $$g:y=-(\frac{8}{3}(-x)-8)$$$$y=\frac{8}{3}x+8$$

Sposób III

Funkcja g jest równoległa do funkcji f, a więc ma taki sam współczynnik kierunkowy. Wyraz stały b wyznaczamy analogicznie jak w sposobie I i II.

Rozwiązanie

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} -37=a\cdot(-8)+b\newline -21=a\cdot(-4)+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\newline b = -5 \end{matrix}\right. $$Szukana prosta wyrażona jest wzorem:$$AB:y=4x-5$$Następnie podstawiamy pozostałe punkty i sprawdzamy, który spełnia równanie prostej $$AB:y=4x-5$$$$C:\ -5=4\cdot0-5$$Punktami współliniowymi są: A, B, C

Rozwiązanie

Prostą $$-5x-8y+2=0$$przedstawmy w postaci kierunkowej:$$y=-\frac{5}{8}x+\frac{1}{4}$$Następnie korzystamy z warunku na proste prostopadłe: $$a_1\cdot a_2=-1$$$$-\frac{5}{8}\cdot a_2=-1$$$$a_2=\frac{8}{5}$$