Rozwiązanie

Popatrzmy na wykres podanej prostej:

Szukany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, którego kąt ostry znajduje się w wierzchołku w punkcie (0, 0). Długości przyprostokątnych tego trójkąta są równe: |b| = |-5| = 5 (punkt (0, b) jest punktem przecięcia z osią OY) oraz $$|x_0|=\left|\frac{-b}{a}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1$$(punkt (0, -b/a) jest punktem przecięcia się prostej z osią OX, gdzie -b/a jest miejscem zerowym podanej prostej). Pole trójkąta wyznaczymy ze wzoru $$P=\frac{1}{2}|x_0|\cdot |b|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot 5=\frac{5}{2}$$

Rozwiązanie

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty C i D podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} -5=a\cdot0+b\newline 15=a\cdot4+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\newline b = -5 \end{matrix}\right. $$Szukana prosta wyrażona jest wzorem:$$CD:y=5x-5$$Następnie podstawiamy pozostałe punkty i sprawdzamy, który spełnia równanie prostej $$CD:y=5x-5$$$$B:\ -25=5\cdot(-4)-5$$Punktami współliniowymi są: B, C, D

Rozwiązanie

Zauważ, że długość średnicy okręgu jest równa długości odcinka AB. Wystarczy zastosować wzór na odległość między dwoma punktami na układzie współrzędnych: $$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(-5-10)^2+(-10-1)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{346}$$ $$Średnica=|AB|=\sqrt{346}$$

Rozwiązanie

Sposób I

Początkiem układu współrzędnych jest punkt (0, 0). Do określenia wzoru funkcji g będziemy potrzebowali dwóch punktów odbitych względem tego środka. Aby to uzyskać, zmieniamy współrzędne podanych punktów na przeciwne: $$A'=(0,1)$$ $$B'=(2,0)$$ Szukamy prostej $$g:y=ax+b$$Wyraz stały b odczytujemy z punktu przecięcia z osią OY$$b=1$$ Mamy więc kawałek wzoru funkcji $$g:y=ax+1$$Funkcja ta przechodzi przez punkt B', którego współrzędne podstawiamy do wzoru funkcji $$0=2a+1$$$$a=-\frac{1}{2}$$Otrzymujemy pełen wzór funkcji g:$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Sposób II

Wyznaczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B, analogicznie jak przedstawia sposób I: $$f:y=-\frac{1}{2}x-1$$Następnie stosujemy wzór na symetrię środkową $$y=-f(-x)$$ $$g:y=-(-\frac{1}{2}(-x)-1)$$$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Sposób III

Funkcja g jest równoległa do funkcji f, a więc ma taki sam współczynnik kierunkowy. Wyraz stały b wyznaczamy analogicznie jak w sposobie I i II.

Rozwiązanie

Skorzystamy z warunku na proste równoległe. Współczynniki kierunkowe tych prostych muszą być sobie równe. Współczynnikiem kierunkowym pierwszej prostej jest wyrażenie $$a_1 = 7m+7$$natomiast drugiej $$a_2=5m-5.$$Podstawiamy do warunku $$a_1=a_2$$ i otrzymujemy równanie $$7m+7=5m-5$$ $$7m-5m=-7-5$$ $$2m=-12$$$$m=-6$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności przekształcamy równanie prostej z treści zadania do postaci kierunkowej, aby dowiedzieć się jaki jest jej współczynnik kierunkowy:$$y=-\frac{1}{2}x$$Wspólczynnik stojący przy x (współczynnik kierunkowy) ma wartość: $$a=-\frac{1}{2}$$Teraz skorzystamy z warunku na prostopadłość dwóch prostych $$a_1\cdot a_2 = -1$$Niech a₁ będzie współczynnikiem prostej z zadania, a a₂ współczynnikiem prostej, której wzór szukamy, mamy więc równanie: $$-\frac{1}{2}\cdot a_2 = -1$$$$a_2=2$$Zatem brakuje nam jeszcze wyrazu stałego b:$$y=2x+b$$Prosta przechodzi przez punkt P = (-1, -3), który podstawiamy do powyższego równania:$$-3=2\cdot (-1)+b$$$$b=-1$$Szukany wzór to:$$y=2x-1$$

Rozwiązanie

Punkt A (x, y) = (8, 8) należy do prostej $$y=(m-3)x+2,$$więc podstawiamy jego współrzędne do tej prostej i wyznaczamy szukany parametr:$$8=(m-3)\cdot 8+2$$$$m=\frac{15}{4}$$

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka: $$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$Wyznaczmy kolejne długości boków trójkąta: $$|AB|=\sqrt{(-5-6)^2+(5-9)^2}=\sqrt{137}$$ $$|AC|=\sqrt{(17-6)^2+(-2-9)^2}=11\sqrt{2}$$ $$|BC|=\sqrt{(17-(-5))^2+(-2-5)^2}=\sqrt{533}$$Najdłuższy bok ma długość: $$\sqrt{533}$$

Rozwiązanie

Prostą $$-6x-3y-5=0$$przedstawmy w postaci kierunkowej:$$y=-2x-\frac{5}{3}$$Następnie korzystamy z warunku na proste prostopadłe: $$a_1\cdot a_2=-1$$$$-2\cdot a_2=-1$$$$a_2=\frac{1}{2}$$

Rozwiązanie

Mając współrzędne wierzchołków trójkąta: $$A=(8,2),\ B=(-10,7),\ C=(x,0)$$ wyznaczmy długości jego boków: $$|AB|=\sqrt{(-10-8)^2+(7-2)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(x-8)^2+(0-2)^2}$$ $$|BC|=\sqrt{(x-(-10))^2+(0-7)^2}$$Następnie podstawimy wyznaczone długości do twierdzenia Pitagorasa:$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2$$ $$x^2-16x+64+4=349+x^2+20x+100+49$$$$-36x=430$$$$x=-\frac{215}{18}\approx -11.94$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A = (-6, 2) i B = (-2, 0) podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej:$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} 2=a\cdot(-6)+b\newline 0=a\cdot(-2)+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{2}\newline b = -1 \end{matrix}\right. $$Następnie wykorzystamy warunek na proste prostopadłe:$$a_1\cdot a_2=-1$$ aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość:$$-\frac{1}{2}\cdot a_2=-1$$$$a_2=2$$Prosta zawierająca szukaną wysokość wyraża się wzorem:$$h:y=2x+b$$Aby wyznaczyć niewiadomą b podstawiamy punkt C=(-5, -10), przez który ta prosta przechdzi:$$-10=2\cdot (-5)+b$$$$b=0$$Szukany wzór ma postać:$$h:y=2x+0$$

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczymy współrzędne środka odcinka AB korzystając ze wzoru: $$S_{AB}(x,y)=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$$$S_{AB}(x,y)=\left(\frac{-11+5}{2},\frac{3+27}{2}\right)$$$$S_{AB}=(-3,15)$$W drugim kroku wyznaczymy prostą zawierającą środkową trójkąta przechodzącą przez punkty C = (7, -35) i S_AB = (-3, 15) podstawiając je do wzoru prostej w postaci kierunkowej:$$y=ax+b$$ $$\left\{\begin{matrix} -35=a\cdot7+b\newline 15=a\cdot(-3)+b \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-5\newline b = 0 \end{matrix}\right. $$

Rozwiązanie

Krok 1 - wyznaczenie prostej prostopadłej do y = 4x i przechodzącej przez punkt A = (3, 4)

Szukamy wzoru funkcji prostopodałej do podanej: $$y=a_2x+b$$Wspólczynnik kierunkowy prostej podanej w zadaniu ma wartość: $$a=4$$Korzystamy z warunku na proste prostopadłe: $$a_1\cdot a_2 = -1$$Niech a₁ będzie współczynnikiem prostej z zadania, a a₂ współczynnikiem prostej, której wzóru szukamy, mamy więc równanie: $$4\cdot a_2 = -1$$$$a_2=-\frac{1}{4}$$Zatem brakuje nam jeszcze wyrazu stałego b:$$y=-\frac{1}{4}x+b$$Prosta przechodzi przez punkt A = (3, 4), który podstawiamy do powyższego równania:$$4=-\frac{1}{4}\cdot 3+b$$$$b=4\frac{3}{4}$$Szukany wzór to:$$y=-\frac{1}{4}x+4\frac{3}{4}$$

Krok 2 - wyznaczenie punktu przecięcia się prostych

$$y = 4x$$ $$y=-\frac{1}{4}x+4\frac{3}{4}$$który jest środkiem odcinka AB. W tym celu rozwiązujemy układ równań: $$\left\{\begin{matrix} y = 4x \newline y=-\frac{1}{4}x+4\frac{3}{4} \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} x = 1\frac{2}{17} \newline y=4\frac{8}{17} \end{matrix}\right.$$Współrzędne punku przecięcia sie prostych:$$S = \left (1\frac{2}{17},\ 4\frac{8}{17}\right )$$

Krok 3 - wyznaczenie współrzędnych punktu B ze wzoru na środek odcinka

Zauważ, że punkt S jest środkiem odcinak AB. Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, aby wyznaczyć współrzędne punktu B:$$S(x_S,\ y_S) =\left (\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right )$$$$S\left (1\frac{2}{17},\ 4\frac{8}{17}\right ) =\left (\frac{3+x_B}{2},\ \frac{4+y_B}{2}\right )$$$$\left\{\begin{matrix} 1\frac{2}{17}= \frac{3+x_B}{2}\newline 4\frac{8}{17}= \frac{4+y_B}{2} \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix} x_B = -\frac{13}{17}\newline y_B = \frac{84}{17} \end{matrix}\right.$$Odp. $$B = \left ( -\frac{13}{17},\ \frac{84}{17}\right )$$