Rozwiązanie

W pierwszym kroku należy rozwiązań nierówność: $$n^2+6n-40< 0$$Miejscami zerowymi trójmianu są liczby: $$n_1=-10,\ n_2=4$$Ramiona paraboli skierowane są do góry, rozwiązaniem nierówności jest przedział$$n\ ∈\ (-10, 4)$$Liczba n jest numerem wyrazu ciągu, więc z powyższego przedziału wybieramy tylko takie liczby, które są naturalne dodatnie: $$ 1,\ 2,\ 3$$Wyrazami ujemnymi są:$$a_{1},\ a_{2},\ a_{3}$$Odp. Wyrazów ujemnych jest 3.

Rozwiązanie

Do rozwiązania zadania wykorzystamy wzór$$K=K_0\cdot\left (1+\frac{p}{100}\right)^n$$gdzie
K₀ - kwota wpłacona na konto (kapitał początkowy): 33000 zł
p - oprocentowanie w skali roku podzielone przez liczbę naliczeń odsetek w ciągu jednego roku: 1:4 = 0.25
n - liczba naliczeń odsetek w przeciągu całego okresu: 4 · 4 = 16
K - kapitał końcowy$$K=K_0\cdot\left (1+\frac{p}{100}\right)^n=33000\cdot\left (1+\frac{0.25}{100}\right)^{16}=34345.04 zł$$ $$K-K_0=34345.04 zł-33000zł=1345.04 zł$$

Rozwiązanie

Dla dowolnych trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego, wartość środkowego wyrazu jest równa średniej arytmetycznej wartości swoich sąsiadów:$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$z treści zadania mamy: $$a_1=9$$$$a_2=2x-27$$$$a_3=28-3x$$podstawiamy do wzoru $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$$ $$2x-27=\frac{9+28-3x}{2}$$Mnożymy stronami przez 2 $$4x-54=9+28-3x$$$$x=13$$

Rozwiązanie

Sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego policzymy ze wzoru: $$S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$Z treści zadania mamy: $$a_1=30$$$$r=a_2-a_1=41-30=11$$$$ n=120$$i podstawiamy do wzoru$$S_{120}=\frac{2\cdot 30+(120-1)\cdot 11}{2}\cdot 120$$$$S_{120}=82140$$

Rozwiązanie

Rozpatrujemy sumę:$$(*)\ a_1+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+$$$$+a_{9}+a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}=60$$Zauważ, że wyraz o numerze 8 stoi na środku. Wyrażmy więc wrzystkie pozostałe wyrazy wyrazem a₈:$$a_1 = a_{8}-7r$$$$a_2 = a_{8}-6r$$$$a_3 = a_{8}-5r$$$$...$$ $$a_{13} = a_{8}+5r$$$$a_{14} = a_{8}+6r$$$$a_{15} = a_{8}+7r$$Po podstawieniu powyższych równań do równania (*) zauważamy, że różnice r zostaną zredukowane:$$a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+$$$$+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}+a_{8}=60$$$$15a_{8}=60$$$$a_{8}=4$$

Rozwiązanie

Szukamy a₂, a więc n = 2 i podstawiamy do wzoru $$a_n=-6n^2+8-4n$$$$a_{2}=-6\cdot 2^2+8-4\cdot 2=-24$$

Rozwiązanie

Z treści zadania mamy: $$a_{3}=-27$$$$a_{4}=-81$$Wyznaczymy najpierw iloraz ciągu:$$a_{3}\cdot q^{1}=a_{4}$$ $$-27\cdot q=-81$$$$q=3$$Teraz wyznaczymy a₁: $$a_1\cdot q^{2}=a_{3}$$Podstawiamy $$q=3$$ $$a_1\cdot 3^{2}=-27$$$$a_1=-3$$

Rozwiązanie

Z treści zadania mamy: $$a_{5}=-18$$$$a_{9}=-42$$Wyznaczymy najpierw różnicę ciągu:$$a_{5}+4r=a_{9}$$ $$-18+4r=-42$$$$r=-6$$Teraz wyznaczymy a₁: $$a_1+4r=a_{5}$$ $$a_1+4\cdot -6=-18$$$$a_1=6$$

Rozwiązanie

Wzór ogólny ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}.$$Szukamy więc wyrażenia, które przypomina powyższy wzór. Odpowiedzią jest$$a_n=\frac{2\cdot2^{n-1}}{4}$$Można także wyznaczyć kilka kolejnych wyrazów i zauważyć stałą q - iloraz ciągu geometrycznego, który otrzymyjemy dzieląc wyrazy: $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=...$$ $$a_1=\frac{2\cdot 2^{1-1}}{4}=\frac{1}{2}$$ $$a_2=\frac{2\cdot 2^{2-1}}{4}=1$$ $$a_3=\frac{2\cdot 2^{3-1}}{4}=2$$ Zauważmy, że $$q=2$$jest to więc ciąg geometryczny.

Rozwiązanie

Wzór ogólny, który ma postać $$a_n = rn+b$$ jest ciągiem arytmetycznym, gdzie r, to różnica ciągu. Odpowiedzią jest $$a_n=2-10n$$ gdzie r = -10.
Można także wypisać kilka kolejnych wyrazów tego ciągu: $$a_1=2-10\cdot 1=-8$$$$a_2=2-10\cdot 2=-18$$$$a_3=2-10\cdot 3=-28$$ i zauważyć, że różnica jest stała i wynosi -10.

Rozwiązanie

Rozpotrujemy ciąg arytmetyczny, który ma 6 wyrazów. Z treści zadania mamy: $$a_1=70$$$$n=6$$Suma wszystkich kątów wewnętrznych n-kąta wypuklego wyraża się wzorem:$$S_n=(n-2)\cdot 180^\circ$$(każdy wielokąt wypukły o n kątach można podzielić na n - 2 trójkątów, a suma miar wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180°)$$S_6=4\cdot 180^\circ =720^\circ$$Wyznaczyliśmy sumę 6 kolejnych wyrazów w ciągu arytmetycznym. Do wyznaczenia a₆ wykorzystamy wzór na sumę n początkowych wyrazów w ciągu arytmetycznym:$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$720=\frac{70+a_6}{2}\cdot 6$$$$a_6=170$$Teraz wyznaczymy różnicę ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym:$$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$$ $$170=70+(6-1)\cdot r$$ $$r=20$$ Odp. Największy kąt ma miarę 170°, a różnica ciągu wynosi 20°.

Rozwiązanie

Wypiszmy kolejne liczby dwucyfrowe, które w dzieleniu przez 10 dają resztę 9: $$19,\ 29,\ 39,\ ...,\ 89,\ 99.$$ Pierwszą liczbą spełniającą kryteria zadania jest 19 natomiast ostatnią 99. Zauważ, że powstały ciąg jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica wynosi 10. Wyznaczmy liczbę wyrazów tego ciągu wykorzystując wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$$$$99=19+(n-1)\cdot 10$$$$n=9$$Następnie wyliczymy sumę 9 początkowych wyrazów:$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$$$S_{9}=\frac{19+99}{2}\cdot 9=531$$

Rozwiązanie

Pierwszy i trzeci wyraz można wyrazić w następujący sposób:$$a_1=a_2-r$$$$a_3=a_2+r$$Sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać: $$a_1+a_2+a_3=a_2-r+a_2+a2+r=147$$ $$3a_2=147$$ $$a_2=49$$ Niech b_n będzie ciągiem geometrycznym. Z treści zadania mamy: $$b_1=a_1=a_2-r=49-r$$ $$b_2=a_2+51=49+51=100$$ $$b_3=a_2+r+327=49+r+327=r+376$$ Teraz skorzystamy z własności ciągu geometrycznego: $$(b_2)^2=b_1\cdot b_3$$ $$100^2=(49-r)\cdot(r+376)$$$$10000=-327r+18424-r^2$$$$r^2+327r-8424=0$$$$\Delta=140625$$$$\sqrt{\Delta}=375$$$$r_1=-351\vee r_2=24$$Teraz dla każdego wyznaczonego r obliczymy wyraz pierwszy:
dla$$r=-351$$mamy$$ a_1=a_2-r=49-(-351)=400,$$ dla $$r=24$$mamy$$ a_1=a_2-r=49-24=25$$